Schizzo della Macchina di Galton
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La Macchina di Galton
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La macchina con tre file di chiodi

"If the rows of spikes had been few, the deviation would have been slight, almost all pellets would have lodged in the compartment immediately below the point whence they were dropped, and would then have resembled a column;" Galton[1877], p286
Ragioniamo ancora sulla macchina con tre file di chiodi.

Quanti percorsi?

Sul disegno a fianco abbiamo tracciato le spezzate corrispondenti ai vari percorsi, abbiamo inoltre scritto su ogni chiodo il numero dei percorsi con cui ci può arrivare la pallina.

Pertanto:
un solo percorso conduce la pallina alla prima scalanatura, 3 percorsi alla seconda, 3 percorsi alla terza e, infine, 1 solo percorso alla quarta scalanatura.

Sommando i vari percorsi otteniamo complessivamente 1 + 3 + 3 + 1 = 8 possibili percorsi.

Osserva il disegno e cerca di scoprire un metodo che ti permetta di proseguire col conteggio dei percorsi aggiungendo altre file di chiodi.

I percorsi e le scalanature di destinazione

Che proprietà ha il percorso che conduce alla prima scalanatura? Cosa accomuna i tre percorsi che conducono alla seconda scalanatura? E alla terza? E all'ultima?


Il disegno di sopra mostra che:
  • la pallina finisce nella prima scalanatura solo se non ha mai deviato a destra (lo può fare in un solo modo),
  • nella seconda se ha deviato una sola volta a destra (lo può fare in tre modi differenti),
  • nella terza se ha deviato due volte a destra (lo può fare in tre modi differenti),
  • nella quarta se ha deviato sempre verso destra (lo può fare in un solo modo).
scalanatura Numero deviazioni
a destra
scalanatura 1
0 deviazioni a destra
scalanatura 2
1 deviazione a destra
scalanatura 3
2 deviazioni a destra
scalanatura 4 3 deviazioni a destra

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Conclusione

Ora che abbiamo "contato" tutti i possibili percorsi per 3 file di chiodi vale la pena di chiedersi se è proprio necessario disegnare ogni volta la macchina e tracciare ogni percorso per contare i percorsi possibili di una singola pallina.

In fondo, se si considera che:
  • la pallina può urtare un solo chiodo per fila e ogni volta che urta un chiodo subisce una deviazione a destra o a sinistra;
  • il numero delle file di chiodi determina anche il numero degli urti, ossia il numero totale delle deviazioni.
possiamo concludere dicendo:

In una macchina con tre file di chiodi, ogni percorso della pallina è una sequenza di tre scelte, ognuna delle quali è binaria (destra o sinistra).

Il numero dei percorsi è uguale al numero delle sequenze ordinate di lunghezza tre che si possono formare con le scelte destra/sinistra.

Ciò significa che possiamo ottenere il numero complessivo di percorsi (in questo caso 8) anche nel modo seguente:

2 × 2 × 2 = 8
scelte possibili   scelte possibili   scelte possibili   possibilità in tutto

Il numero dei percorsi che conducono alle varie scalanature si trova nel seguente modo.
Basta scrivere su ogni chiodo il numero di percorsi che ci arrivano. Così, nella prima fila si scriverà 1, nella seconda (1, 1) e nella terza (1, 2, 1), ecc. Noterai che il numero da scrivere su ogni chiodo non è altro che la somma dei due numeri scritti sui due chiodi soprastanti.
Supponendo che nessuna delle due direzioni prevalga, possiamo dire che la probabilità che una pallina finisca in una scalanatura è pari al rapporto tra il numero dei percorsi che ci arrivano e il numero di tutti i percorsi.

Possiamo sintetizzare quanto detto con il seguente schema:

Deviazioni
a destra
N. percorsi Probabilità
(in forma frazionaria)
Probabilità
(in forma decimale)
0
1
1/8
0.1250
1
3
3/8
0.3750
2
3
3/8
0.3750
3
1
1/8
0.1250
Totale
8
8/8
1.0000

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La tabella ci permette di calcolare il numero medio teorico dei palleggi a destra, calcolando il prodotto di ogni deviazione a destra per la rispettiva probabilità e sommando il tutto:
μ = 0 × 1/8 + 1 × 3/8 + 2 × 3/8 + 3× 1/8 = 12/8 = 1.5

Un altro valore interessante da calcolare è la cosiddetta deviazione standard (o scarto quadratico medio dalla media):
.




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